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考研积分真题(考研数学例题)

考研 2025年04月09日 09:16 12 誉允

  1. 不定积分(Indefinite Integrals)

  题目 1(Problem 1):计算以下不定积分(Evaluate the following indefinite integral):

  ∫ (3x2 - 4x + 5) dx

  解析(Solution):

  - 使用幂法则积分(Using the Power Rule for Integration):

  ∫ 3x2 dx = (3/3)x3 = x3

  ∫ -4x dx = (-4/2)x2 = -2x2

  ∫ 5 dx = 5x

  结合所有项并加上积分常数 C(Combine all terms and add the constant C):

  x3 - 2x2 + 5x + C

  答案(Answer):∫ (3x2 - 4x + 5) dx = x3 - 2x2 + 5x + C

  题目 2(Problem 2):计算以下不定积分(Evaluate the following indefinite integral):

  ∫ (2e^x + sin x) dx

  解析(Solution):

  - 逐项积分(Integrate term by term):

  ∫ 2e^x dx = 2e^x

  ∫ sin x dx = -cos x

考研积分真题(考研数学例题)

  结合所有项并加上积分常数 C(Combine all terms and add C):

  2e^x - cos x + C

  答案(Answer):∫ (2e^x + sin x) dx = 2e^x - cos x + C

  2. 定积分(Definite Integrals)

  题目 1(Problem 1):计算以下定积分(Evaluate the following definite integral):

  ∫[0,2] (3x2 - 2) dx

  解析(Solution):

  - 计算不定积分(Find the indefinite integral):

  ∫ (3x2 - 2) dx = x3 - 2x + C

  - 计算定积分(Evaluate from 0 to 2):

  [23 - 2(2)] - [03 - 2(0)]

  = (8 - 4) - (0 - 0) = 4

考研积分真题(考研数学例题)

  答案(Answer):∫[0,2] (3x2 - 2) dx = 4

  3. 部分积分(Integration by Parts)

  题目 1(Problem 1):计算以下积分(Evaluate the following integral):

  ∫ x e^x dx

  解析(Solution):

  - 使用部分积分公式(Using Integration by Parts Formula):

  ∫ u dv = uv - ∫ v du

  - 设 u = x, dv = e^x dx

  则 du = dx, v = ∫ e^x dx = e^x

  - 应用部分积分(Apply Integration by Parts):

  ∫ x e^x dx = x e^x - ∫ e^x dx

  = x e^x - e^x + C

考研积分真题(考研数学例题)

  答案(Answer):∫ x e^x dx = x e^x - e^x + C

  4. 代换法(Substitution Method)

  题目 1(Problem 1):计算以下积分(Evaluate the following integral):

  ∫ (2x) / (x2 + 1) dx

  解析(Solution):

  - 设 u = x2 + 1,则 du = 2x dx

  - 代换后积分变为(Substituting):

  ∫ du / u = ln|u| + C

  = ln|x2 + 1| + C

  答案(Answer):∫ (2x) / (x2 + 1) dx = ln|x2 + 1| + C

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