考研积分真题(考研数学例题)

　　1. 不定积分（Indefinite Integrals）

　　题目 1（Problem 1）：计算以下不定积分（Evaluate the following indefinite integral）:

　　∫ (3x2 - 4x + 5) dx

　　解析（Solution）：

　　- 使用幂法则积分（Using the Power Rule for Integration）：

　　∫ 3x2 dx = (3/3)x3 = x3

　　∫ -4x dx = (-4/2)x2 = -2x2

　　∫ 5 dx = 5x

　　结合所有项并加上积分常数 C（Combine all terms and add the constant C）：

　　x3 - 2x2 + 5x + C

　　答案（Answer）：∫ (3x2 - 4x + 5) dx = x3 - 2x2 + 5x + C

　　题目 2（Problem 2）：计算以下不定积分（Evaluate the following indefinite integral）:

　　∫ (2e^x + sin x) dx

　　解析（Solution）：

　　- 逐项积分（Integrate term by term）：

　　∫ 2e^x dx = 2e^x

　　∫ sin x dx = -cos x

　　结合所有项并加上积分常数 C（Combine all terms and add C）：

　　2e^x - cos x + C

　　答案（Answer）：∫ (2e^x + sin x) dx = 2e^x - cos x + C

　　2. 定积分（Definite Integrals）

　　题目 1（Problem 1）：计算以下定积分（Evaluate the following definite integral）:

　　∫[0,2] (3x2 - 2) dx

　　解析（Solution）：

　　- 计算不定积分（Find the indefinite integral）：

　　∫ (3x2 - 2) dx = x3 - 2x + C

　　- 计算定积分（Evaluate from 0 to 2）：

　　[23 - 2(2)] - [03 - 2(0)]

　　= (8 - 4) - (0 - 0) = 4

　　答案（Answer）：∫[0,2] (3x2 - 2) dx = 4

　　3. 部分积分（Integration by Parts）

　　题目 1（Problem 1）：计算以下积分（Evaluate the following integral）:

　　∫ x e^x dx

　　解析（Solution）：

　　- 使用部分积分公式（Using Integration by Parts Formula）：

　　∫ u dv = uv - ∫ v du

　　- 设 u = x, dv = e^x dx

　　则 du = dx, v = ∫ e^x dx = e^x

　　- 应用部分积分（Apply Integration by Parts）：

　　∫ x e^x dx = x e^x - ∫ e^x dx

　　= x e^x - e^x + C

　　答案（Answer）：∫ x e^x dx = x e^x - e^x + C

　　4. 代换法（Substitution Method）

　　题目 1（Problem 1）：计算以下积分（Evaluate the following integral）:

　　∫ (2x) / (x2 + 1) dx

　　解析（Solution）：

　　- 设 u = x2 + 1，则 du = 2x dx

　　- 代换后积分变为（Substituting）：

　　∫ du / u = ln|u| + C

　　= ln|x2 + 1| + C

　　答案（Answer）：∫ (2x) / (x2 + 1) dx = ln|x2 + 1| + C