比较难的考研数学题

题目描述：

在三角形ABC中，$AB=AC$，点D在$\overline{BC}$上，满足$\angle BAD=2\angle ACD$，求证：$\angle BAC=3\angle BCD$。

解题思路：

从题目给定的条件来看，我们可以利用角度的均分线定理和反角定理进行求解。

先来看一下角度的均分线定理吧。如下图所示，点$M$为$\overline{BC}$线段上的任一点，$\angle BAM = \theta, \angle CAM=\alpha$，则有：

$$\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}=\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\theta}}$$

接下来介绍一下反角定理。如下图所示，$\angle ACD=\theta, \angle ADC=\alpha$，则 $\overline{AB}$是$\angle CAD$的平分线当且仅当$\angle ADB = \angle ACB$。

了解了这两个定理之后，我们可以根据题目的条件进行推导。如下所示：

因为$AB=AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$；

又因为$\angle BAC=2\angle ACD \angle ACB=2\theta \angle ABC$；

又因为$\angle BAD=2\angle ACD$，所以$\angle DAB=\angle ACB\theta$；

又因为$\angle BDA=180\alpha\angle DAB$，所以$\angle BDA=\alpha\angle ACB \theta$；

又因为$\angle BDC=180\angle ADC\angle ACD=180\alpha\theta$，所以$\angle BCD=\alpha\theta$。

最终，我们可以得到：

$$\angle BAC=2\theta \angle ABC=2\theta 1802\theta=180\theta$$

$$\angle BCD=\alpha\theta=\frac{\angle BAD}{2}$$

所以：

$$\angle BAC=3\angle BCD$$

证毕。

指导建议：

数学中有很多看似复杂，但是归根结底都是套用一些常见的定理进行求解的题目。对于考研数学而言，积累经验、熟记定理是必须的。对于一些不熟悉的概念和公式也需要进行针对性的学习和练习，才能够在考试中有足够的应对能力。